Kí tự đặc biệt toán học gồm phép tính + − × ÷ ±, so sánh ≠ ≤ ≥ ≈, tập hợp ∈ ⊂ ∪ ∩, căn và tích phân √ ∑ ∫, góc ∠ ⊥ ∥ và chữ Hy Lạp. Bảng 71 dòng ở trên ghi mã, tên chuẩn và phiên bản Unicode của từng ký hiệu, từ phép cộng đến dấu vô cực. Phần dưới chỉ ra những cặp trông giống nhưng khác mã, nguồn gốc của nhiều lỗi sao chép công thức.
Biên soạn: Ban biên tập Tạo Chữ Đẹp. Cập nhật lần cuối: . Mã, tên và phiên bản Unicode trong bảng lấy tự động từ Cơ sở dữ liệu Ký tự Unicode. Mục “hiển thị ở đâu” dựa trên đặc tính Unicode, chưa phải kết quả thử trên thiết bị thật.
Bốn phép tính và dấu bằng
| Ký tự | Mã và tên Unicode | Bản và kiểu | Ghi chú |
|---|---|---|---|
U+002BPLUS SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Dấu cộng (ASCII) | |
U+2212MINUS SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Dấu trừ toán học, khác gạch nối “-” | |
U+00D7MULTIPLICATION SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Dấu nhân | |
U+00F7DIVISION SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Dấu chia | |
U+003DEQUALS SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Dấu bằng (ASCII) | |
U+00B1PLUS-MINUS SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Cộng trừ | |
U+2213MINUS-OR-PLUS SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Trừ cộng | |
U+2260NOT EQUAL TO |
Unicode 1.1Chữ | Khác | |
U+2248ALMOST EQUAL TO |
Unicode 1.1Chữ | Xấp xỉ |
So sánh và quan hệ
| Ký tự | Mã và tên Unicode | Bản và kiểu | Ghi chú |
|---|---|---|---|
U+2264LESS-THAN OR EQUAL TO |
Unicode 1.1Chữ | Nhỏ hơn hoặc bằng | |
U+2265GREATER-THAN OR EQUAL TO |
Unicode 1.1Chữ | Lớn hơn hoặc bằng | |
U+226AMUCH LESS-THAN |
Unicode 1.1Chữ | Nhỏ hơn rất nhiều | |
U+226BMUCH GREATER-THAN |
Unicode 1.1Chữ | Lớn hơn rất nhiều | |
U+2261IDENTICAL TO |
Unicode 1.1Chữ | Đồng nhất | |
U+2245APPROXIMATELY EQUAL TO |
Unicode 1.1Chữ | Xấp xỉ bằng (đồng dạng) | |
U+221DPROPORTIONAL TO |
Unicode 1.1Chữ | Tỉ lệ thuận | |
U+223CTILDE OPERATOR |
Unicode 1.1Chữ | Dấu ngã toán tử |
Tập hợp và lôgic
| Ký tự | Mã và tên Unicode | Bản và kiểu | Ghi chú |
|---|---|---|---|
U+2208ELEMENT OF |
Unicode 1.1Chữ | Thuộc | |
U+2209NOT AN ELEMENT OF |
Unicode 1.1Chữ | Không thuộc | |
U+220BCONTAINS AS MEMBER |
Unicode 1.1Chữ | Chứa phần tử | |
U+2282SUBSET OF |
Unicode 1.1Chữ | Tập con | |
U+2283SUPERSET OF |
Unicode 1.1Chữ | Tập chứa | |
U+2286SUBSET OF OR EQUAL TO |
Unicode 1.1Chữ | Tập con hoặc bằng | |
U+2287SUPERSET OF OR EQUAL TO |
Unicode 1.1Chữ | Tập chứa hoặc bằng | |
U+222AUNION |
Unicode 1.1Chữ | Hợp | |
U+2229INTERSECTION |
Unicode 1.1Chữ | Giao | |
U+2205EMPTY SET |
Unicode 1.1Chữ | Tập rỗng | |
U+2200FOR ALL |
Unicode 1.1Chữ | Với mọi | |
U+2203THERE EXISTS |
Unicode 1.1Chữ | Tồn tại | |
U+2227LOGICAL AND |
Unicode 1.1Chữ | Và (lôgic) | |
U+2228LOGICAL OR |
Unicode 1.1Chữ | Hoặc (lôgic) | |
U+00ACNOT SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Phủ định | |
U+21D2RIGHTWARDS DOUBLE ARROW |
Unicode 1.1Chữ | Suy ra | |
U+21D4LEFT RIGHT DOUBLE ARROW |
Unicode 1.1Chữ | Tương đương | |
U+2234THEREFORE |
Unicode 1.1Chữ | Vậy nên | |
U+2235BECAUSE |
Unicode 1.1Chữ | Bởi vì |
Căn, tổng, tích phân và đạo hàm
| Ký tự | Mã và tên Unicode | Bản và kiểu | Ghi chú |
|---|---|---|---|
U+221ASQUARE ROOT |
Unicode 1.1Chữ | Căn bậc hai | |
U+221BCUBE ROOT |
Unicode 1.1Chữ | Căn bậc ba | |
U+221CFOURTH ROOT |
Unicode 1.1Chữ | Căn bậc bốn | |
U+2211N-ARY SUMMATION |
Unicode 1.1Chữ | Tổng | |
U+220FN-ARY PRODUCT |
Unicode 1.1Chữ | Tích | |
U+222BINTEGRAL |
Unicode 1.1Chữ | Tích phân | |
U+222CDOUBLE INTEGRAL |
Unicode 1.1Chữ | Tích phân kép | |
U+222ECONTOUR INTEGRAL |
Unicode 1.1Chữ | Tích phân đường | |
U+2202PARTIAL DIFFERENTIAL |
Unicode 1.1Chữ | Đạo hàm riêng | |
U+2206INCREMENT |
Unicode 1.1Chữ | Số gia (Increment) | |
U+2207NABLA |
Unicode 1.1Chữ | Nabla | |
U+221EINFINITY |
Unicode 1.1Chữ | Vô cực |
Hình học và góc
| Ký tự | Mã và tên Unicode | Bản và kiểu | Ghi chú |
|---|---|---|---|
U+2220ANGLE |
Unicode 1.1Chữ | Góc | |
U+221FRIGHT ANGLE |
Unicode 1.1Chữ | Góc vuông | |
U+22A5UP TACK |
Unicode 1.1Chữ | Vuông góc | |
U+2225PARALLEL TO |
Unicode 1.1Chữ | Song song | |
U+25B3WHITE UP-POINTING TRIANGLE |
Unicode 1.1Chữ | Tam giác | |
U+00B0DEGREE SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Độ | |
U+2032PRIME |
Unicode 1.1Chữ | Phút (dấu phẩy trên) | |
U+2033DOUBLE PRIME |
Unicode 1.1Chữ | Giây (hai dấu phẩy trên) | |
U+03C0GREEK SMALL LETTER PI |
Unicode 1.1Chữ | Chữ pi |
Số mũ, chỉ số, phân số và phần trăm
| Ký tự | Mã và tên Unicode | Bản và kiểu | Ghi chú |
|---|---|---|---|
U+00B2SUPERSCRIPT TWO |
Unicode 1.1Chữ | Bình phương | |
U+00B3SUPERSCRIPT THREE |
Unicode 1.1Chữ | Lập phương | |
U+207FSUPERSCRIPT LATIN SMALL LETTER N |
Unicode 1.1Chữ | Mũ n | |
U+2082SUBSCRIPT TWO |
Unicode 1.1Chữ | Chỉ số dưới 2, như H₂O | |
U+00BDVULGAR FRACTION ONE HALF |
Unicode 1.1Chữ | Một nửa | |
U+2153VULGAR FRACTION ONE THIRD |
Unicode 1.1Chữ | Một phần ba | |
U+00BCVULGAR FRACTION ONE QUARTER |
Unicode 1.1Chữ | Một phần tư | |
U+00BEVULGAR FRACTION THREE QUARTERS |
Unicode 1.1Chữ | Ba phần tư | |
U+2030PER MILLE SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Phần nghìn | |
U+2031PER TEN THOUSAND SIGN |
Unicode 1.1Chữ | Phần vạn |
Chữ Hy Lạp hay dùng
| Ký tự | Mã và tên Unicode | Bản và kiểu | Ghi chú |
|---|---|---|---|
U+03B1 … U+03B8 · 8 ký tựGREEK SMALL LETTER ALPHA … |
Unicode ≤ 1.1Chữ | Alpha đến theta (thường) | |
U+03BB … U+03C4 · 8 ký tựGREEK SMALL LETTER LAMDA … |
Unicode ≤ 1.1Chữ | Lambda đến tau (thường) | |
U+03C5 … U+03C9 · 5 ký tựGREEK SMALL LETTER UPSILON … |
Unicode ≤ 1.1Chữ | Upsilon đến omega (thường) | |
U+0393 … U+03A9 · 9 ký tựGREEK CAPITAL LETTER GAMMA … |
Unicode ≤ 1.1Chữ | Chữ hoa hay dùng: Gamma, Delta, Sigma, Omega… |
Cách đọc bảng kí tự toán học
Bảng chia bảy nhóm theo cách học ở trường: phép tính, so sánh, tập hợp và lôgic, căn tổng tích phân, hình học, số mũ và phân số, chữ Hy Lạp. Cột “Tên” là tên chuẩn bằng tiếng Anh, giúp bạn tìm đúng ký tự khi gõ vào ô tìm kiếm của bảng ký tự hệ thống.
Ký hiệu toán nằm ở những khối nào
Unicode 18.0 có 1.005 ký tự loại ký hiệu toán. Khối chính là Mathematical Operators, 256 ký tự và tất cả thuộc loại này, từ ∀ đến ⋿. Các khối còn lại bổ sung thêm toán tử, ngoặc và ký hiệu hiếm.
| Khối | Dải mã | Đã gán (Unicode 18.0) | Loại phổ biến nhất |
|---|---|---|---|
| Mathematical Operators | U+2200 đến U+22FF | 256 | 256 ký tự loại Sm |
| Supplemental Mathematical Operators | U+2A00 đến U+2AFF | 256 | 256 ký tự loại Sm |
| Miscellaneous Mathematical Symbols-A | U+27C0 đến U+27EF | 48 | 36 ký tự loại Sm |
| Miscellaneous Mathematical Symbols-B | U+2980 đến U+29FF | 128 | 100 ký tự loại Sm |
| Letterlike Symbols | U+2100 đến U+214F | 80 | 28 ký tự loại Lu |
| Mathematical Alphanumeric Symbols | U+1D400 đến U+1D7FF | 997 | 493 ký tự loại Ll |
Dòng cuối cho thấy một điều ít người biết: 𝐀 𝔸 𝟘 là ký tự toán học thật, thiết kế cho công thức mà kiểu chữ mang nghĩa. Nhiều người mượn chúng để trang trí; xem chữ in đậm.
Cùng hình, khác mã: − × ÷ và gạch nối, chữ x
Bàn phím chỉ có – x /, nên người ta gõ chúng thay cho ký hiệu thật. Mỗi cặp dưới đây là hai ký tự khác nhau về mã và về loại.
| Ký tự | Mã | Tên chuẩn | Loại | Hay dùng làm |
|---|---|---|---|---|
| – | U+002D | Hyphen-Minus | Dấu gạch (Pd) | dấu gạch nối ASCII |
| – | U+2013 | En Dash | Dấu gạch (Pd) | gạch giữa khoảng số |
| − | U+2212 | Minus Sign | Ký hiệu toán (Sm) | dấu trừ toán học |
| x | U+0078 | Latin Small Letter X | Chữ thường (Ll) | chữ x |
| × | U+00D7 | Multiplication Sign | Ký hiệu toán (Sm) | dấu nhân |
| / | U+002F | Solidus | Dấu câu khác (Po) | gạch chéo ASCII |
| ∕ | U+2215 | Division Slash | Ký hiệu toán (Sm) | gạch chia |
| ÷ | U+00F7 | Division Sign | Ký hiệu toán (Sm) | dấu chia |
Bạn có thể dùng ký tự thật để công thức trông đúng; hạn chế là tìm kiếm và sao chép công thức giữa các nơi có thể coi hai ký tự là khác nhau.
Δ và ∆, Σ và ∑, Ω (Ohm) và Ω Hy Lạp
Chữ Hy Lạp hoa Δ (U+0394) và ký hiệu số gia ∆ (INCREMENT, U+2206) trông gần như một. Tương tự Σ (U+03A3) và ∑ (U+2211, tổng). Unicode còn có Ω (OHM SIGN, U+2126) và Å (ANGSTROM SIGN, U+212B); khi chuẩn hóa theo NFC, hai ký tự này đổi thành Ω Hy Lạp (U+03A9) và Å Latin (U+00C5), nên bạn nên dùng thẳng dạng chuẩn.
Số mũ, chỉ số dưới và phân số
² ³ ⁿ ₂ ½ ⅓ là ký tự dựng sẵn. Chúng chỉ phục vụ trường hợp ngắn như m², H₂O hay ½. Nếu một hệ thống chuẩn hóa văn bản theo NFKC, ² sẽ thành 2 và ½ thành 1⁄2, tức mất vị trí trên cao; đó là lý do không nên dựa vào số mũ trong dữ liệu cần đúng từng ký tự. ∑ và ∫ cũng chỉ là một ký tự đứng riêng, không tự co giãn như trong trình soạn công thức.
Hiển thị ở đâu: ký hiệu toán nằm ở khối nào
Bảng dưới đếm 71 dòng theo khối Unicode của ký tự đầu mỗi dòng. Khối càng chuyên biệt thì càng ít font có đủ hình, nhưng chúng tôi chưa đo font nào có ký tự nào.
| Khối Unicode | Số dòng | Ví dụ |
|---|---|---|
| Mathematical Operators | 44 | − ∓ ≠ ≈ |
| Latin-1 Supplement | 10 | × ÷ ± ¬ |
| Greek and Coptic | 5 | π αβγδεζηθ λμνξπρστ υφχψω |
| General Punctuation | 4 | ′ ″ ‰ ‱ |
| Basic Latin | 2 | + = |
| Arrows | 2 | ⇒ ⇔ |
| Superscripts and Subscripts | 2 | ⁿ ₂ |
| Geometric Shapes | 1 | △ |
| Number Forms | 1 | ⅓ |
Hầu hết ký hiệu trong bảng từ Unicode 1.1 nên máy nào cũng có phiên bản chuẩn của chúng, nhưng độ phủ của từng font khác nhau. Ký hiệu hiếm như ∜ ∬ ∮ có thể hiện ô vuông trong font không thiên về toán. Chúng tôi chưa thử từng ứng dụng.
Dùng kí tự toán học cho bài tập và bài đăng
Ký hiệu ngắn như x² hay ≥ gõ vừa dòng thì dùng thoải mái. Công thức nhiều tầng cần trình soạn công thức, vì ∑ hay ∫ ở đây chỉ là một ký tự đơn. Cần bảng ký hiệu cho số thì xem hình số và hình dấu X.
Lỗi thường gặp với kí tự toán học
| Hiện tượng | Nguyên nhân có thể | Cách xử lý |
|---|---|---|
| Dấu trừ − bị đổi thành gạch nối | Bộ gõ hoặc ứng dụng thay − bằng – | Dán lại hoặc dùng bảng ký tự để chọn |
| ∆ và Δ lẫn nhau | Hai mã khác nhau nhưng hình gần giống | Chọn đúng theo nghĩa: số gia hay chữ cái |
| ∜ hiện ô vuông | Font thiếu ký hiệu toán hiếm | Dùng căn bậc hai ∛ hoặc đổi font |
Xem thêm
- Kí tự đặc biệt hình số
- Kí tự đặc biệt hình dấu X
- Kí tự đặc biệt hình mũi tên
- Kí tự đặc biệt hình chữ cái
- Kí tự đặc biệt theo hình
- Bàn phím kí tự đặc biệt
Nguồn và cách chúng tôi kiểm tra
Mã, tên, loại, khối và số lượng ký tự tính từ Cơ sở dữ liệu Ký tự Unicode 18.0. Việc NFC đổi U+2126 và U+212B về Ω và Å được kiểm bằng dữ liệu chuẩn hóa Unicode. Tài liệu tham khảo: Unicode Character Database: UnicodeData.txt (phiên bản 18.0); Unicode Character Database: Blocks.txt (phiên bản 18.0); Unicode Character Database: DerivedAge.txt (phiên bản 18.0); Biểu đồ Unicode: Mathematical Operators (PDF); Biểu đồ Unicode: Supplemental Mathematical Operators (PDF); Unicode Standard Annex #15: Normalization Forms; Wikipedia: Mathematical Alphanumeric Symbols. Kiểm tra lần cuối ở lần cập nhật gần nhất ().
Câu hỏi thường gặp
Kí tự toán học nằm ở đâu trong Unicode?
Phần lớn nằm trong khối Mathematical Operators (U+2200 đến U+22FF) với 256 ký tự, tất cả thuộc loại ký hiệu toán. Ngoài ra còn khối toán tử bổ sung, hai khối ký hiệu toán A và B, khối chữ cái toán học, cộng các ký tự lẻ như × ÷ ± nằm trong khối Latin-1.
Dấu trừ − khác gạch nối – thế nào?
Gạch nối – là U+002D, thuộc loại dấu gạch, có sẵn trên bàn phím. Dấu trừ − là U+2212, thuộc loại ký hiệu toán và dùng cho phép trừ trong công thức. Hai ký tự khác mã nên tìm theo chuỗi chính xác sẽ không coi chúng là một.
Làm sao viết bình phương, lập phương và chỉ số dưới?
Dùng ² (U+00B2), ³ (U+00B3), ⁿ (U+207F) cho số mũ và ₂ (U+2082) cho chỉ số dưới như H₂O. Các ký tự này có sẵn trong bảng để bấm sao chép. Với số mũ phức tạp như x^(n+1), các ký tự này không đủ, nên cần trình soạn công thức.
Σ và ∑ khác nhau thế nào?
Σ (U+03A3) là chữ cái Hy Lạp sigma viết hoa, còn ∑ (U+2211) là ký hiệu tổng N-ARY SUMMATION. Hình gần giống nên hay bị dùng lẫn. Nên dùng ∑ cho phép tổng và Σ khi là chữ cái, ví dụ tên biến hoặc độ lệch chuẩn.